Bernardo Diaz Luis Arturo: 3.13 Transformada de laplace de la función Delta Dirac

Para

$\displaystyle {\cal L} \{\delta(t-t_0) \} = e^{-st_0}$

Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

$\displaystyle \delta_a(t-t_0) = \frac{1}{2a} \left( H(t - (t_0-a)) - H(t-(t_0 + a)) \right)$

De donde tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \left\{ \delta_a \left(t - t_0 \right) \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2a} {\cal L} \left\{ H(t - (t_0-a)) \right\} - \frac{1}{2a} \left\{ H(t-(t_0 + a)) \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2a} \left( \frac{e^{-s(t_0-a)}}{s} \right) - \frac{1}{2a} \left( \frac{e^{-s(t_0+a)}}{s} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{-st_0} \left( \frac{e^{sa} - e^{-sa}}{2sa} \right)$

con lo cual

$\displaystyle {\cal L} \left\{ \delta(t - t_0) \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \left\{ \lim_{a \rightarrow 0} \delta_a(t- t_0) \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} {\cal L} \left\{ \delta_a(t- t_0) \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} e^{-st_0} \underbrace{\left( \frac{e^{sa} - e^{-sa}}{2sa} \right)}_{L'H \hat{o}pital}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{-st_0} \lim_{a \rightarrow 0} \frac{se^{sa} + se^{-sa}}{2s}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{-st_0}$

Observación: a partir de ${\cal L} \left\{ \delta(t-t_0) \right\} =e^{-st_0}$ es razonable concluir que ${\cal L} \left\{ \delta(t) \right\}=1$ . Esto reafirma el hecho de que $\delta(t)$ no es una función ordinaria, puesto que se espera que ${\cal L} \{ f(t) \}$ cuando $s \rightarrow \infty$ .

Bernardo Diaz Luis Arturo

domingo, 15 de mayo de 2011

3.13 Transformada de laplace de la función Delta Dirac

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